Différence entre les intégrales définies et indéfinies Différence Entre le calcul
Le calcul est une branche importante des mathématiques, et la différenciation joue un rôle critique dans le calcul. Le processus inverse de la différenciation est connu comme l'intégration, et l'inverse est connu comme l'intégrale, ou simplement, l'inverse de la différenciation donne une intégrale. Basé sur les résultats qu'ils produisent les intégrales sont divisées en deux classes à savoir., intégrales définies et indéfinies.
Définie Intégrale
L'intégrale définie de f (x) est un nombre et représente l'aire sous la courbe f (x) à partir de x = a à x = b .
Une intégrale définie a des limites supérieures et inférieures sur les intégrales, et elle est dite définie car, à la fin du problème, nous avons un nombre - c'est une réponse définitive.
Intégrale indéfinie
L'intégrale indéfinie de f (x) est une FONCTION et répond à la question: «Quelle fonction différenciée donne f (x) ? "
Avec une intégrale indéfinie, il n'y a pas de limites supérieure et inférieure sur l'intégrale ici, et ce que nous obtiendrons est une réponse qui a encore x et aura aussi une constante (généralement désigné par C ).
L'intégrale indéfinie donne généralement une solution générale à l'équation différentielle.
L'intégrale indéfinie est plus une forme générale d'intégration, et elle peut être interprétée comme l'anti-dérivée de la fonction considérée.
Supposons que la différenciation de la fonction F mène à une autre fonction f , et l'intégration de f donne l'intégrale. Symboliquement, ceci est écrit comme
F (x) = ∫ƒ (x) dx
ou
F = ∫ƒ dx
où F et ƒ < sont des fonctions de x , et F est différentiable. Dans la forme ci-dessus, on l'appelle une intégrale de Reimann et la fonction résultante accompagne une constante arbitraire. Une intégrale indéfinie produit souvent une famille de fonctions; par conséquent, l'intégrale est indéfinie.
Les intégrales et le processus d'intégration sont au cœur de la résolution des équations différentielles. Cependant, contrairement aux étapes de différenciation, les étapes d'intégration ne suivent pas toujours une routine claire et standard. Parfois, nous voyons que la solution ne peut pas être exprimée explicitement en termes de fonction élémentaire. Dans ce cas, la solution analytique est souvent donnée sous la forme d'une intégrale indéfinie.
Théorème fondamental du calcul
L'intégrale définie et l'intégrale indéfinie sont liées par le théorème fondamental du calcul comme suit: Pour calculer une intégrale
définie, trouvez l'intégrale indéfinie > (également connu sous le nom d'anti-dérivé) de la fonction et évaluer aux points d'extrémité x = a et x = b . La différence entre les intégrales définies et indéfinies sera évidente une fois que nous aurons évalué les intégrales pour la même fonction. Considérons l'intégrale suivante: OK. Faisons les deux et voyons la différence.
Pour l'intégration, nous devons en ajouter un à l'index qui nous conduit à l'expression suivante:
A ce moment-là
C
est simplement une constante pour nous. Des informations supplémentaires sont nécessaires dans le problème pour déterminer la valeur précise de
C . Évaluons la même intégrale dans sa forme définie i. e., avec les limites supérieure et inférieure incluses. Graphiquement, nous calculons maintenant l'aire sous la courbe f (x) = y
3
entre y = 2 et y = 3 >. La première étape de cette évaluation est la même que l'évaluation intégrale indéfinie. La seule différence est que cette fois nous n'ajoutons pas la constante C . L'expression dans ce cas ressemble à ceci:
C'est le tour qui mène à: Essentiellement, nous avons substitué 3 et ensuite 2 dans l'expression et obtenu la différence entre eux. C'est la valeur définie par opposition à l'utilisation de la constante
C
plus tôt.
Explorons le facteur constant (en ce qui concerne l'intégrale indéfinie) de façon plus détaillée.
Si le différentiel de y 3
est
3y 2 , alors ∫ 3y 2 dy = y
3 Cependant, 3y 2 pourrait être le différentiel de plusieurs expressions dont
y 3 -5 , > y 3 +7 , etc … Ceci implique que l'inversion n'est pas unique puisque la constante n'est pas comptabilisée pendant l'opération. Donc, en général, 3y 2 est le différentiel de y
3 + C où C est constante. Incidemment, C est connu comme la 'constante d'intégration' . Nous écrivons ceci: ∫ 3y 2. dx = y
3
+ C Les techniques d'intégration pour une intégrale indéfinie, telle que la consultation de table ou l'intégration de Risch, peuvent ajouter de nouvelles discontinuités au cours du processus d'intégration. Ces nouvelles discontinuités apparaissent car les anti-dérivés peuvent nécessiter l'introduction de logarithmes complexes. Les logarithmes complexes ont une discontinuité de saut lorsque l'argument croise l'axe réel négatif, et les algorithmes d'intégration ne peuvent parfois pas trouver une représentation où ces sauts s'annulent.
