Les événements mutuellement exclusifs et indépendants

différents et indépendants

Les gens confondent souvent le concept d'événements mutuellement exclusifs avec des événements indépendants. En fait, ce sont deux choses différentes.

Soit A et B deux événements quelconques associés à une expérience aléatoire E. P (A) est appelée la «probabilité de A». De même, nous pouvons définir la probabilité de B comme P (B), la probabilité de A ou B comme P (A∪B) et la probabilité de A et B comme P (A∩B). Alors, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Cependant, deux événements qui s'excluent mutuellement si l'occurrence d'un événement n'affecte pas l'autre. En d'autres termes, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par conséquent, si deux événements A et B sont mutuellement exclusifs, alors A∩B = ∅ et donc, cela implique P (A∪B) = P (A) + P (B).

Soient A et B deux événements dans un espace échantillon S. La probabilité conditionnelle de A, étant donné que B s'est produit, est notée P (A | B) et est définie comme; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), à condition que P (B)> 0. (sinon, il n'est pas défini.)

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Un événement A est dit indépendant de l'événement B, si la probabilité que A se produise n'est pas influencée par la présence ou non de B. En d'autres termes, le résultat de l'événement B n'a aucun effet sur le résultat de l'événement A. Par conséquent, P (A | B) = P (A). De même, B est indépendant de A si P (B) = P (B | A). Par conséquent, nous pouvons conclure que si A et B sont des événements indépendants, alors P (A∩B) = P (A). P (B)

Supposons qu'un cube numéroté soit roulé et qu'une pièce juste soit retournée. Soit A l'événement que l'obtention d'une tête et B l'événement que le roulement d'un nombre pair. Alors nous pouvons conclure que les événements A et B sont indépendants, parce que le résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre. Par conséquent, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Puisque P (A∩B) ≠ 0, A et B ne peuvent pas s'exclure mutuellement.

Supposons qu'une urne contient 7 billes blanches et 8 billes noires. Définir l'événement A comme dessiner un marbre blanc et l'événement B comme dessiner un marbre noir. En supposant que chaque marbre sera remplacé après avoir noté sa couleur, alors P (A) et P (B) seront toujours les mêmes, peu importe combien de fois nous tirons de l'urne. Remplacer les billes signifie que les probabilités ne changent pas du tirage au sort, peu importe la couleur que nous avons choisie lors du dernier tirage. Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.

Cependant, si les billes ont été tirées sans remplacement, tout change. Dans cette hypothèse, les événements A et B ne sont pas indépendants. Dessiner un marbre blanc la première fois change les probabilités pour dessiner un marbre noir sur le deuxième tirage et ainsi de suite. En d'autres termes, chaque tirage a un effet sur le tirage suivant, de sorte que les tirages individuels ne sont pas indépendants.

Différence entre les événements mutuellement exclusifs et indépendants - L'exclusivité mutuelle des événements signifie qu'il n'y a pas de chevauchement entre les ensembles A et B. L'indépendance des événements signifie que l'arrivée de A n'affecte pas l'événement de B. - Si deux événements A et B mutuellement exclusifs, alors P (A∩B) = 0. - Si deux événements A et B indépendants, alors P (A∩B) = P (A). P (B)