Différence entre les nombres rationnels et irrationnels Différence Entre
Le terme «nombre» nous rappelle ce qui est généralement classé comme valeurs entières positives supérieures à zéro. Les autres classes de nombres comprennent nombres entiers et fractions , complexes et nombres réels et aussi valeurs entières négatives .
En étendant les classifications de nombres plus loin, on rencontre des nombres rationnels et irrationnels . Un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit comme une fraction. En d'autres termes, le nombre rationnel peut être écrit comme un rapport de deux nombres.
Considérons, par exemple, le nombre 6 . Il peut être écrit comme le ratio de deux nombres à savoir. 6 et 1 , conduisant au rapport 6/1 . De même, 2/3 , qui est écrit comme une fraction, est un nombre rationnel.
On peut donc définir un nombre rationnel, comme un nombre écrit sous la forme d'une fraction, où à la fois le numérateur (le nombre en haut) et le dénominateur (le nombre en bas) sont des nombres entiers. Par définition, donc, tout nombre entier est aussi un nombre rationnel.
Rapport de deux grands nombres tels que ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) constituerait aussi un exemple de nombre rationnel pour la simple raison que le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.
Inversement, tout nombre qui ne peut être exprimé sous la forme d'une fraction ou d'un ratio est qualifié d'irrationnel. L'exemple le plus souvent cité d'un nombre irrationnel est √ 2 ( 1. 414213 …) . Un autre exemple populaire de nombre irrationnel est la constante numérique π ( 3, 141592 … ) .
Un nombre irrationnel peut être écrit comme une décimale, mais pas comme une fraction. Les nombres irrationnels ne sont pas souvent utilisés dans la vie quotidienne bien qu'ils existent sur la ligne numérique. Il y a un nombre infini de nombres irrationnels entre 0 et 1 sur la droite numérique. Un nombre irrationnel a des chiffres sans répétition sans fin à la droite de la virgule décimale.
Notez que la valeur souvent 22/7 pour la constante π n'est en fait qu'une des valeurs de π >. Par définition, la circonférence d'un cercle divisé par deux fois son rayon est la valeur de π. Cela conduit à des valeurs multiples de π , y compris, mais sans s'y limiter, 333/106, 355/113 et ainsi de suite1. Seulement les racines carrées des nombres carrés; je. e., les racines carrées des
carrés parfaits sont rationnelles.
= 1 (rationnel) √2
(irrationnel) √3
(irrationnel) √4 < = 2
(rationnel) √5, √6, √7, √8 (irrationnel)
√9 = 3
(rationnel) et ainsi de suite. De plus, nous notons que seules les n
racines des n puissances sont rationnelles. Ainsi, la racine 6 de 64 est rationnelle, car 64 est un pouvoir 6 , à savoir le 6 puissance de 2 . Mais la 6e racine de 63 est irrationnelle. 63 n'est pas une puissance 6 parfaite.
rationnel
sous forme décimale, alors la valeur décimale sera exacte (comme dans 1/5 = 0. 20) ou ce sera inexact (comme dans, 1/3 ≈ 0. 3333 ). Dans les deux cas, il y aura un schéma prévisible de chiffres. Notez que lorsqu'un nombre irrationnel est exprimé sous forme décimale, alors il est clair qu'il sera inexact, car sinon, le nombre serait rationnel. De plus, il n'y aura pas de tendance prévisible des chiffres. Par exemple, √2 ≈
1. 4142135623730950488016887242097
Maintenant, avec des nombres rationnels, nous rencontrons parfois 1/11 = 0. 0909090
. L'utilisation à la fois du signe égal ( =) et de trois points ( ellipsis ) implique qu'il n'est pas possible d'exprimer exactement 1/11 sous forme décimale, nous pouvons toujours l'approximer avec autant de chiffres décimaux que possible pour se rapprocher de 1/11 . Ainsi, la forme décimale de 1/11
est réputée inexacte. De même, la forme décimale de ¼ qui est de 0, 25 est exacte. Venant à la forme décimale pour les nombres irrationnels, ils seront toujours inexacts. Poursuivant l'exemple de √
2 , lorsque nous écrivons √2 = 1. 41421356237 … (notez l'utilisation de points de suspension), cela implique immédiatement qu'aucune décimale pour > √2 sera exact. De plus, il n'y aura pas de tendance prévisible des chiffres. En utilisant encore des concepts issus des méthodes numériques, nous pouvons approximer rationnellement autant de chiffres décimaux que jusqu'à ce que nous soyons proches de √2 . Toute note sur les nombres rationnels et irrationnels ne peut pas se terminer sans la preuve obligatoire de la raison pour laquelle √2 est irrationnel. Ce faisant, nous élucidons aussi, l'exemple classique d'une preuve par cont radiction.
Supposons que √2 est rationnel. Ceci nous amène à le représenter comme un ratio de deux entiers, disons p
etq . √2 = p / q Inutile de dire que p
et
q n'ont pas de facteurs communs, car s'il y avait des facteurs communs, nous aurions annulé les sortir du numérateur et le dénominateur. La quadrature des deux côtés de l'équation, on se retrouve avec,
2
/ q2 Cela peut s'écrire sous la forme, p 2
= 2q > 2
La dernière équation suggère que p 2 est pair. Ceci n'est possible que si
p est pair. Ceci implique à son tour que p 2 est divisible par 4 . Par conséquent, q 2 et par conséquent q doit être pair.Donc p et q sont tous les deux égaux, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse initiale selon laquelle ils n'ont pas de facteurs communs. Ainsi, √2 ne peut pas être rationnel. Q. E.
